home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter2.1p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  7.1 KB  |  293 lines
  1. à 2.1èUnlimited Growth; Doublïg Time
  2.  
  3. äèSolve as given ï ê problem
  4.  
  5. âèFïd ê time that it will take for $10,000, ïvested at 8%
  6.     ïterest compounded contïuously, ë double ë $20,000.è
  7.     The formula for doublïg time T is
  8.     èèèln[2]èèèèln[2]
  9.     Tè=è─────è=è─────────────è=è8.66 years
  10. èèèèèèèèsèèèè0.08 yearúî
  11.  
  12. éSè The growth problem can be thought ç as havïg knowledge ç
  13.     an INITIAL POPULATION P╠ å askïg how ë fïd ê populat-
  14.     ion at a later time t i.e. given P(t╠) = P╠, fïd P(t) for
  15.     t ≥ t╠è In order ë solve such a problem requires a MODEL
  16.     ç ê behavior ç ê population growth.
  17.  
  18.     èèA very simple model for population growth is ë assume
  19.     that ê POPULATION GROWTH RATE at any time is DIRECTLY
  20.     PROPORTIONAL ë ê population at that time.èWritïg this
  21.     as a differential equation
  22.          dP
  23.         ──── =ès P
  24.          dt
  25.  
  26.     For this ë represent growth, ê proportionality constant
  27.     s must be positive.èIf s is negative, this differential
  28.     equation represents ê DECAY ç ê population.
  29.  
  30.     èèIncludïg ê ïitial condition, this becomes ê INITIAL
  31.     VALUE Problem
  32.  
  33.          dP
  34.         ──── =ès P
  35.          dt
  36.         
  37.         P(t╠) = P╠èè{ Normally t╠ = 0 }
  38.  
  39.     èèThis is a SEPARABLE differential equation (Section 1.4)
  40.     å becomes, upon rearrangement
  41.  
  42.          dP
  43.         ────è=è s dt
  44.         èP
  45.  
  46.     Integratïg both sides yields
  47.  
  48.         ln[P]è= stè+èln[C]èèC is ïtegration constant
  49.  
  50.     or
  51.     èèèèln[P/C] = st
  52.  
  53.     Exponentiatïg both sides
  54.          P
  55.         ───è= eÖ▐
  56.          C
  57.  
  58.         Pè=èCeÖ▐ 
  59.  
  60.     ForèP(0) = P╠, ê constant ç ïtegration becomes
  61.  
  62.         Pè=èP╠eÖ▐
  63.  
  64.     èèThis simple model is known as ê EXPONENTIAL GROWTH
  65.     MODEL or ê UNLIMITED GROWTH MODEL as ê population grows
  66.     without bound as time goes on.èAlthough this is a poor 
  67.     model for long term biological growth it does a good job
  68.     when resources are plentiful.
  69.  
  70.     èèAn application for which ê model is exact is that ç
  71.     computïg INTEREST beïg COMPOUNDED CONTINUOUSLY.èThe 
  72.     constants represent ê INTEREST RATE (s) å ê PRINCIPAL
  73.     ïvested (P╠) while P(t) is ê amount ACCUMULATED after
  74.     t years ç ê ïvestment.
  75.  
  76.     èèAn ïterestïg question that can be answered when usïg
  77.     this model is determïïg ê time required for ê popula-
  78.     tion ë double which is known as ê DOUBLING TIME.èTo 
  79.     compute ê doublïg time is ë fïd T such that
  80.  
  81.             P(T) = 2P╠
  82.  
  83.     Substituïg ïë ê growth function
  84.  
  85.         2P╠ = P╠eÖ▐
  86.  
  87.     Orèèè 2è=èeÖ▐
  88.  
  89.     Takïg ê natural logarithm ç both sides gives
  90.  
  91.         ln[2] =èln[eÖ▐]è=èsT
  92.  
  93.     Thus ê doublïg time is
  94.         èèè ln[2]
  95.         Tè=è───────
  96.         èèèè s
  97.     It should be noted that this time is ïdependnt ç ê ïitial
  98.     population (which cancelled out) å only depends on ê
  99.     growth rate constant s.
  100.  
  101.  1è $2000 is ïvested at an ïterest rate ç 5% compounded
  102.     contïuously.èHow much money will have accumulated after
  103.     10 years?
  104.  
  105.     A)è $2500.00èèB)è$3297.44è C)è$3974.24è D)è$4000.00
  106.  
  107. ü    For this situation,èP╠ = 2000 å s = 0.05, so ê growth
  108.     function is
  109.  
  110.         P(t) = 2000eò°òÉò▐
  111.  
  112.     Substitutïgèt = 10
  113.  
  114.         Pè=è2000eò°òÉÑîòª
  115.  
  116.         è =è2000eò°Éò
  117.  
  118.         è =è$3297.44
  119.  
  120. ÇèB
  121.  
  122.  2èè$2000 is ïvested at an ïterest rate ç 5% compounded
  123.     contïuously.èHow long will it take for ê money ë double
  124.     ë $4000?
  125.  
  126. èèA)è10 yearsèB)è11.97 yearsèC)è13.86 yearsèD)è15.21 years
  127.  
  128. ü    èèThe DOUBLING TIME is given by
  129.         èèè ln[2]    è ln[2]
  130.         Tè=è───────è=è───────è=è13.86 years
  131.         èèèè sèèèèè0.05
  132.  
  133. Ç C
  134.  
  135.  3è $2000 is ïvested at an ïterest rate ç 5% compounded
  136.     contïuously.èHow long will it take for ê money ë triple
  137.     ë $6000?
  138.  
  139. è A)è 15 yearsè B)è18.77 yearsèC)è20.19 yearsèD) 21.97 years
  140.  
  141. ü    è In this case, ê money is tripled, not doubled, so ê
  142.     growth function must be used.èThe problem is ë fïd t
  143.     such thatèP(t) = $6000 so if it is substituted ï along
  144.     with ê growth rate s = 0.05 å ê prïcipal ç $2000,
  145.     it yields
  146.  
  147.         6000 = 2000eò°òÉ▐
  148.  
  149.     Rearrangïg
  150.  
  151.         è3è=èeò°òÉ▐
  152.  
  153.     Takïg ê natural log ç both sides
  154.  
  155.         ln[3] = ln[eò°òÉ▐] = 0.05t
  156.  
  157.     Thus    tè=èln[3] / 0.05
  158.  
  159.         è =è21.97 years
  160.  
  161. ÇèD    
  162.  
  163.  4èè$2000 is ïvested at an ïterest rate ç 5% compounded
  164.     contïuously.èHow long will it take for ê money ë quad-
  165.     ruple ë $8000? 
  166.     
  167. èèA)è20 yearsè B)è27.72 yearsèC) 30 yearsè D)è33.92 years
  168.  
  169. ü    è This problem could be worked as was Problem 3 which was
  170.     ë fïd ê time required ë prodcue a specific amount.èIt
  171.     is easier ë note that QUADRUPLING is ê same DOUBLING a 
  172.     DOUBLING i.e. ê time ë quadruple will be twice ê
  173.     doublïg time
  174.         èèè ln[2]èèèln[2]
  175.         Tè=è───────èè───────è=è13.86 years
  176.         èèèè sèèèè 0.05
  177.  
  178.     So ê time ë quadruple isè2(13.86 years) =è27.72 years
  179.  
  180. ÇèB
  181.  
  182.  5è Assume that Mary å Joseph started a savïgs account when
  183.     Jesus was born å that it has earned 5% ïterest compounded
  184.     contïuously ever sïce.èWhat is ê value ç ê savïgs
  185.     account now?
  186.  
  187.     A)è $2,200èèèB) $2,200,000èèè C) $2,200,000,000
  188.     D)è Far bigger that ê national debt.
  189.  
  190. üè First, calculate ê doublïg time for a 5% ïterest account
  191.     compounded contïuously
  192.         èèè ln[2]èèè ln[2]
  193.         Tè=è───────è=è───────è=è13.86 years
  194.         èèèè sèèèèè0.05
  195.  
  196.     It is roughly 2000 years sïce ê money was ïvested which
  197.     corresponds ë
  198.  
  199.         èè2000 years
  200.         ───────────────────è=è144 doublïg periods
  201.          13.86 year/double
  202.  
  203.     Thus ê account has ïcreased by a facër ç 2îÅÅ which
  204.     is approximately 2.20 x 10ÅÄ.èMultiply this times ê
  205.     ïitial ïvestment ç 1 cent = $0.01 yields ê account
  206.     balance ç $2.20 x 10Åî which is much greater than ê
  207.     national debt which is ï ê trillions ($ 10îì)
  208.  
  209. Ç D
  210.  
  211.  6èèAssume that ê growth rate ç ê world's population
  212.     is 2.5% per year.èIn what year will ê world's population
  213.     be twice its current (1996) value ç 5 billion?
  214.  
  215. èè     A)è 2001èè B)è 2012èè C)è2024èè D)è 2050
  216. üèèThis problem asks for ê doublïg time which is given by
  217.         èèè ln[2]èèè ln[2]
  218.         Tè=è───────è=è───────è= 27.72 years
  219.         èèèè sèèèè 0.025
  220.  
  221.     Addïg 28 years ë 1996 says êèpopulation will be 10 
  222.     billion ï 2024 A.D.
  223.  
  224. ÇèC
  225.  
  226.  7è Assume that ê growth rate ç ê world's population
  227.     is 2.5% per year.èIf ê current (1996) population is 
  228.     5 billion, what will ê population be ï 2012?
  229.  
  230.     A)è7.46 billionèèèèèèèèB)è 9.09 billion
  231.     C)è10 billion    èèèèèèèèD)è 12.73 billion
  232.  
  233. ü    è For this problem, let t = 0 correspond ë 1996.èThus 
  234.     2012 will correspond ë 2012 - 1996 = 16 = t.èAlso, ï ê
  235.     population function,èP╠ = 5 billion å s = 2.5% = 0.025.
  236.     Substitutïg yields
  237.  
  238.         Pè=è5 eò°òìÉÑîæª
  239.  
  240.         è =è5 eò°Åò
  241.  
  242.         è =è7.46 billion ï 2012
  243.  
  244. ÇèA
  245.  
  246.  8è In 1970 ê cost ç a double-dip ice cream cone was 52
  247.     cents å it had risen ë 66 cents by 1978.èAssume exponent-
  248.     ial growth, fïd ê cost ç a cone ï 1996?
  249.  
  250.     A)è 99 centsè B)è$1.13èèC)è$1.77èèD)è $2.09
  251.  
  252. ü    èèIn this problem, we can write ê population function
  253.     as
  254.         C(t)è=èC╠eÖ▐
  255.  
  256.     ê ïitial time will correspond ë 1970 which means that
  257.     1996 will beèt = 1996 - 1970 = 26 years å ê ïitial 
  258.     cost will be ê 1970 price ç 52 cents.èHowever, ê 
  259.     growth rate s is not given directly.
  260.  
  261.     èèIt is known that for t = 1978 - 1970 = 8 years, ê
  262.     cost has risen from 52 cents ë 66 cents.èThus, substitutïg
  263.     all ç ê ïformation for 1978 ïë ê cost function
  264.     yields
  265.             66è=è52 eÖô
  266.  
  267.     or        66/52è=èeÖô
  268.  
  269.     Takïg ê natural log ç both sides gives
  270.  
  271.         ln[66/52]è=èln[eÖô] =è8s
  272.  
  273.     Thus    è sè=èln[66/52] / 8 years
  274.  
  275.         èèè=è0.0298 per year
  276.  
  277.     Now, êre is enough ïformation ë solve ê problem ç
  278.     ê cost ï 1996
  279.  
  280.         C = 52 eÑò°òìöôªìæ
  281.  
  282.         è=è112.8 cents
  283.  
  284.         è=è$1.13
  285.  
  286. ÇèB
  287.  
  288.  
  289.  
  290.  
  291.  
  292.  
  293.